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试题详情

如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.

(1)求证:

(2)若为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值。

已帮助 219 人解答此问题

试题答案

见解析。

试题解析

(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD为矩形,∴AB⊥AD,

又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴AB⊥面PAD,∴AB⊥PD。

(2)过P做PO⊥AD,∴PO⊥平面ABCD,

作OM⊥BC,连接PM

∴PM⊥BC,

∵∠BPC=90°,PB=,PC=2,

∴BC=,PM==,BM=

设AB=x,∴OM=x∴PO=

∴VP﹣ABCD=×x××=

,即x=,VP﹣ABCD=

建立空间直角坐标系O﹣AMP,如图所示,

则P(0,0,),D(﹣,0,0),C(﹣,0),M(0,,0),B(,0)

面PBC的法向量为=(0,1,1),面DPC的法向量为=(1,0,﹣2)

∴cosθ===﹣

少年,再来一题如何?
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