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已知函数.

证明:(1)存在唯一,使

(2)存在唯一,使,且对(1)中的.

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试题答案

见解析

试题解析

(1)∵当x∈(0,)时,f′(x)=﹣(1+sinx)(π+2x)﹣2x﹣cosx<0,

∴函数f(x)在(0,)上为减函数,

又f(0)=π﹣>0,f()=﹣π2<0;

∴存在唯一的x0∈(0,),使f(x0)=0;

(2)考虑函数h(x)=﹣4ln(3﹣x),x∈[,π],

令t=π﹣x,则x∈[,π]时,t∈[0,],

记u(t)=h(π﹣t)=﹣4ln(1+t),

则u′(t)=

由(1)得,当t∈(0,x0)时,u′(t)<0;

在(0,x0)上u(x)是增函数,又u(0)=0,∴当t∈(,x0]时,u(t)>0,

∴u(t)在(0,x0]上无零点;

在(x0)上u(t)是减函数,由u(x0)>0,u()=﹣4ln2<0,

∴存在唯一的t1∈(x0),使u(t1)=0;

∴存在唯一的t1∈(0,),使u(t1)=0;

∴存在唯一的x1=π﹣t1∈(,π),使h(x1)=h(π﹣t1)=u(t1)=0;

∵当x∈(,π)时,1+sinx>0,∴g(x)=(1+sinx)h(x)与h(x)有相同的零点,

∴存在唯一的x1∈(,π),使g(x1)=0,

∵x1=π﹣t1,t1>x0,∴x0+x1<π。

少年,再来一题如何?
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