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试题详情

在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到点的距离的最大值为

(1)求椭圆的方程

(2) 在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。

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试题答案

(1) 的方程为.

(2) 存在,面积最大为,点的坐标为.

试题解析

(1)依题意,所以,

是椭圆上任意一点,则,所以,

所以

时,有最大值,可得,所以

故椭圆的方程为.

(2)[韦达定理法]因为在椭圆上,所以,,设,

,得

所以,可得

由韦达定理得,

所以

所以

设原点到直线的距离为,则

所以

,由,得,所以,

,

所以,当时,面积最大,且最大为,

此时,点的坐标为.

[垂径定理切入]因为点在椭圆上运动,所以,,

圆心到直线的距离,

直线被圆所截的弦长为

所以,接下来做法同上。

少年,再来一题如何?
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