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试题详情

在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为

(1)求抛物线C的方程;

(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,的最小值。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,设M,由题意可知,则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得,于是抛物线C的方程为.

(2)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,

可得,则

,解得,点M的坐标为.

(3)若点M的横坐标为,则点M

可得,设

于是,令

时,

即当.

故当时,.

少年,再来一题如何?
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