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试题详情

如图6,圆,P是圆C上的任意一动点,A点坐标为(2,0),线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.

(1)求点Q的轨迹G的方程;

(2)已知B,D是轨迹G上不同的两个任意点,M为BD的中点. ①若M的坐标为M

(2,1),求直线BD所在的直线方程;②若BD不经过原点,且不垂直于x轴,点O为轨迹G的中心. 求证:直线BD和直线OM的斜率之积是常数(定值).

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)圆C的圆心为C(-2,0),半径r=6,.

连结,由已知得

所以.

根据椭圆的定义,点Q的轨迹G是中心在原点,以C、A为焦点,长轴长等于的椭圆,

即a=3,c=2,

所以,点Q的轨迹G的方程为.

(2)①设B、D的坐标分别为

两式相减,得

当BD的中点M的坐标为(2,1)时,有

所以,即.

故BD所在的直线方程为,即.

②证明:设,且

由①可知,

所以(定值).

少年,再来一题如何?
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