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试题详情

如图,已知平面内一动点到两个定点的距离之和为,线段的长为

(1)求动点的轨迹

(2)当时,过点作直线与轨迹交于两点,且点在线段的上方,线段的垂直平分线为

①求的面积的最大值;

②轨迹上是否存在除以外的两点关于直线对称,请说明理由。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)当时,轨迹是以为焦点的椭圆

时,轨迹是线段

时,轨迹不存在

(2)以线段的中点为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,

可得轨迹的方程为

①解法1:设表示点到线段的距离

要使的面积有最大值,只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时,

的最大值为

解法2:在椭圆中,设,记

在椭圆上,由椭圆的定义得:

中,由余弦定理得:

配方,得:

从而

根据椭圆的对称性,当最大时,最大

当点与椭圆的上顶点重合时,

最大值为

②结论:当时,显然存在除外的两点关于直线对称

下证当不垂直时,不存在除外的两点关于直线对称

证法1:假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于上,故        ①

在椭圆上,所以有

两式相减,得

将该式写为

并将直线的斜率和线段的中点,表示代入该表达式中,

     ②

①、②得,由(1)代入

的中点为点,而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点.

证法2:假设存在这样的两个不同的点

,故直线经过原点。

直线的斜率为,则假设不成立,

故此时椭圆上不存在两点(除了点、点外)关于直线对称

少年,再来一题如何?
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