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试题详情

已知圆,圆,动圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线 C.

(1)求C的方程;

(2)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

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试题答案

见解析

试题解析

由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.

设动圆的圆心为(,),半径为R.

(1)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为.

(2)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2,

当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为,

的倾斜角为时,则轴重合,可得|AB|=.

的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设,由于圆M相切得,解得.

=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.

=-时,由图形的对称性可知|AB|=,

综上,|AB|=或|AB|=.

少年,再来一题如何?
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