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试题详情

已知动圆与圆相切,且与圆相内切,记圆心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过点的平行线交曲线两个不同的点。

(1)求曲线的方程;

(2)试探究的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数;若不能,请说明理由;

(3)记的面积为的面积为,令,求的最大值。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)设圆心的坐标为,半径为

由于动圆与圆相切,且与圆相内切,所以动

与圆只能内切

 ………………………………………2分

圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,其中

故圆心的轨迹 …………………………………………………………4分

(2)设,直线,则直线

可得:

 ……………………………6分

可得:

………………………………8分

的比值为一个常数,这个常数为……………………………………9分

(3)的面积的面积,

到直线的距离

 …………………………11分

,则

(当且仅当,即,亦即时取等号)

时,取最大值……………………………………………………13分

少年,再来一题如何?
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