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试题详情

给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”,若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为

(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;

(2)点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点

(ⅰ)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程并证明

(ⅱ)求证:线段的长为定值。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)

椭圆方程为,………………………………2分

准圆方程为,………………………………3分

(2)(ⅰ)因为准圆轴正半轴的交点为

设过点且与椭圆相切的直线为

所以由

因为直线与椭圆相切,

所以,解得,………………………………6分

所以方程为,………………………………7分

,………………………………8分

(ⅱ)①当直线中有一条斜率不存在时,不妨设直线斜率不存在,

时,与准圆交于点

此时(或),显然直线垂直;

同理可证当时,直线垂直,………………………………10分

②当斜率存在时,设点,其中

设经过点与椭圆相切的直线为

所以由

化简整理得

因为,所以有

的斜率分别为,因为与椭圆相切,

所以满足上述方程

所以,即垂直,………………………………12分

综合①②知:因为经过点,又分别交其准圆于点,且垂直。

所以线段为准圆的直径,

所以线段的长为定值,………………………………14分

少年,再来一题如何?
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