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试题详情

已知椭圆:的右焦点为,且点在椭圆上。

(1)求椭圆的标准方程;

(2)已知动直线过点,且与椭圆交于两点.试问轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)由题意知:.

根据椭圆的定义得:,即.

……………………………………3分

所以 .

所以 椭圆的标准方程为.    ……………………………………4分

(2)假设在轴上存在点,使得恒成立。

当直线的斜率为0时,.

.

解得 .                        ……………………………………6分

当直线的斜率不存在时,.

由于,所以.

下面证明时,恒成立. ……………………8分

显然 直线的斜率为0时,.

当直线的斜率不为0时,设直线的方程为:.

可得:.

        显然.

………………………10分

因为

所以

                  .

综上所述:在轴上存在点,使得恒成立.…………………13分

少年,再来一题如何?
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