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试题详情

已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.

(1)求曲线C的方程;

(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l,问:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值;若不存在,说明理由。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),

=(x,y)·(0,2)=2y,

由已知得

化简得曲线C的方程:x2=4y.

(2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,

则直线PA的方程是,PB的方程是y=x+t.

曲线C在点Q处的切线l的方程是,它与y轴的交点为F(0,)。

由于-2<x0<2,因此-1<<1.

①当-1<t<0时,,存在x0∈(-2,2),使得,即l与直线PA平行,故当-1<t<0时不符合题意。

②当t≤-1时,

所以l与直线PA,PB一定相交。

分别联立方程组

解得D,E的横坐标分别是

则xE-xD=(1-t)

又|FP|=--t,有S△PDE·|FP|·|xE-xD|=

于是·

.

对任意x0∈(-2,2),要使为常数,即只须t满足

解得t=-1.此时

故存在t=-1,使得△QAB与△PDE的面积之比是常数2.

少年,再来一题如何?
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