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试题详情

已知定点,直线,点为坐标平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,且,设动点的轨迹为曲线

(1)求曲线的方程;

(2)过点的直线与曲线有两个不同的交点,求证:

(3)记的夹角为为坐标原点,为(2)中的两点),求的取值范围。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)设点的坐标为。                                    (1分)

由题意,可得,(3分)

垂直,得,即)。    (6分)

因此,所求曲线的方程为)。

(2)因为过点的直线与曲线有两个不同的交点,所以的斜率不为零,故设直线的方程为。                                (7分)

于是的坐标为方程组的实数解。

并整理得,                               (8分)

于是进一步得               (10分)

又因为曲线)的准线为

所以,得证。 (12分)

(3)由(2)可知,

于是

(16分)可求得的取值范围为。                    (18分)

少年,再来一题如何?
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