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试题详情

已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点。

(1)求椭圆的方程;

(2)直线与椭圆交于两点,且线段的垂直平分线经过点,求为原点)面积的最大值。

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试题答案

(1)

(2)

试题解析

(1)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,

一内角为 的菱形的四个顶点,

所以,椭圆的方程为             …………………4分

(2)设因为的垂直平分线通过点, 显然直线有斜率,

当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则

所以

因为

所以,当且仅当时,取得最大值为  ………………6分

当直线的斜率不为时,则设的方程为

所以,代入得到

,             即

方程有两个不同的解

           …………………9分

所以,又,化简得到    

代入,得到              …………………10分

又原点到直线的距离为

所以

化简得到         …………………12分

因为,所以当时,即时,取得最大值

综上,面积的最大值为                   …………………14分

少年,再来一题如何?
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