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试题详情

如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线与椭圆的交点分别为.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程;

(2)设直线的斜率分别为,证明

(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)设椭圆的半焦距为,由题意知, ,又

所以 

,因此

故椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的方程因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以

因此  双曲线的标准方程为

(2)设

则 

因为  点在双曲线上,所以

因此 

即 

(3)由于的方程为,将其带入椭圆方程得

由根与系数的关系得

所以 

同理可得

则 

又 

所以 

因此  存在,使恒成立。

少年,再来一题如何?
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