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试题详情

如图,椭圆C:(a>b>0)经过点P,离心率e=,直线l的方程为x=4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由。

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试题答案

(1) ; (2) 存在

试题解析

(1)由P在椭圆上得,,①

依题设知a=2c,则b2=3c2,②

②代入①解得c2=1,a2=4,b2=3.

故椭圆C的方程为.

(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k,

则直线AB的方程为y=k(x-1),③

代入椭圆方程3x2+4y2=12并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

x1+x2,x1x2,④

在方程③中令x=4得,M的坐标为(4,3k)。

从而.

注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF,即有.

所以k1+k2

.⑤

④代入⑤得k1+k2=2k-1,

又k3,所以k1+k2=2k3.

故存在常数λ=2符合题意。

(2)方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为:

令x=4,求得M

从而直线PM的斜率为.

联立

得A

则直线PA的斜率为:,直线PB的斜率为:

所以k1+k2=2k3

故存在常数λ=2符合题意

少年,再来一题如何?
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