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试题详情

已知中心在原点,左焦点为的椭圆的左顶点为,上顶点为到直线的距离为.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 过点作直线,使其交椭圆两点,交直线点. 问:是否存在这样的直线,使的等比中项?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由。

(3) 若椭圆方程为:),椭圆方程为:,且),则称椭圆是椭圆倍相似椭圆.已知是椭圆倍相似椭圆,若直线与两椭圆交于四点(依次为),且,试研究动点的轨迹方程。

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试题答案

(1)(2)存在(3)

试题解析

(1)设椭圆方程为:),

所以直线方程为:

到直线距离为

,解得:

故:椭圆方程为:.

(2) 当直线轴重合时,,而,所以

若存在直线,使的等比中项,

则可设直线方程为:

代人椭圆的方程,得:即:

   ∴

,即,∴

,解得:,符合,所以

故存在直线,使的等比中项,其方程为

,即:

(3) 椭圆倍相似椭圆的方程为:

各点坐标依次为

代人椭圆方程,得:

     (*)

此时:

代人椭圆方程,得:

,可得线段中点相同,所以

,所以,可得:

(满足(*)式)。

故:动点的轨迹方程为.

少年,再来一题如何?
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