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试题详情

函数f(x)=ln(x+1)﹣(a>1)。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:<an

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)函数f(x)的定义域为(﹣1,+∞),f′(x)=

①当1<a<2时,若x∈(﹣1,a2﹣2a),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(﹣1,a2﹣2a)上是增函数,

若x∈(a2﹣2a,0),则f′(x)<0,此时函数f(x)在(a2﹣2a,0)上是减函数,

②当a=2时,f′(x)>0,此时函数f(x)在(﹣1,+∞)上是增函数,

③当a>2时,若x∈(﹣1,0),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(﹣1,0)上是增函数,

若x∈(0,a2﹣2a),则f′(x)<0,此时函数f(x)在(0,a2﹣2a)上是减函数,

若x∈(a2﹣2a,+∞),则f′(x)>0,此时函数f(x)在(a2﹣2a,+∞)上是增函数。

(2)由(Ⅰ)知,当a=2时,此时函数f(x)在(﹣1,+∞)上是增函数,

当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=0,

即f(x+1)>,(x>0),

又由(1)知,当a=3时,f(x)在(0,3)上是减函数,

当x∈(0,3)时,f(x)<f(0)=0,f(x+1)>

下面用数学归纳法进行证明<an成立,

①当n=1时,由已知

,故结论成立。

②假设当n=k时结论成立,即

则当n=k+1时,an+1=ln(an+1)>ln(

an+1=ln(an+1)<ln(

即当n=k+1时,成立,

综上由①②可知,对任何n∈N结论都成立。

少年,再来一题如何?
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