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试题详情

如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点分别在棱,上移动,且.

(1)当时,证明:直线平面;

(2)是否存在,使平面与面所成的二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)证明:以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴,建立坐标系,则B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ),

=(﹣2,0,2),=(﹣1,0,λ),=(1,1,0)

λ=1时,=(﹣2,0,2),=(﹣1,0,1),

=2

∴BC1∥FP,

∵FP⊂平面EFPQ,BC1⊄平面EFPQ,

∴直线BC1∥平面EFPQ;

(2)设平面EFPQ的一个法向量为=(x,y,z),则

∴取=(λ,﹣λ,1)。

同理可得平面MNPQ的一个法向量为=(λ﹣2,2﹣λ,1),

若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则

=λ(λ﹣2)﹣λ(2﹣λ)+1=0,∴λ=1±

∴存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角。

少年,再来一题如何?
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