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试题详情

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5,

(1)求证:AA1⊥平面ABC;

(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;

(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.

(2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.

由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.

如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4)。

设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),

令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3)。

同理可得,平面B1BC1的法向量为m=(3,4,0)。

所以cos〈nm〉=.

由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,

所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.

(3)设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且=λ

所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4)。

解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ.

所以=(4λ,3-3λ,4λ)。

·=0,即9-25λ=0,解得.

因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.

此时,.

少年,再来一题如何?
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