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试题详情

已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=﹣2x。

(1)求双曲线E的离心率;

(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限),且△OAB的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程,若不存在,说明理由。

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试题答案

(1)因为双曲线E的渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=﹣2x,

所以=2。

所以=2。

故c=a,

从而双曲线E的离心率e==

(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1。

设直线l与x轴相交于点C,

当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=8,

所以|OC|•|AB|=8,

因此a•4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为=1。

以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线双曲线E的方程为=1也满足条件。

设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<﹣2;

则C(﹣,0),记A(x1,y1),B(x2,y2),

得y1=,同理得y2=

由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得:

|﹣|•||=8,即m2=4|4﹣k2|=4(k2﹣4)。

因为4﹣k2<0,

所以△=4k2m2+4(4﹣k2)(m2+16)=﹣16(4k2﹣m2﹣16),

又因为m2=4(k2﹣4),

所以△=0,即直线l与双曲线E有且只有一个公共点。

因此,存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1。

试题解析

压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程。

(1)依题意,可知=2,易知c=a,从而可求双曲线E的离心率;

(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1,设直线l与x轴相交于点C,分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论,当l⊥x轴时,易求双曲线E的方程为=1.当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,与双曲线E的方程联立,利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得:双曲线E的方程为=1,从而可得答案。

少年,再来一题如何?
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