↑ 收起筛选 ↑

试题详情

是由个实数组成的列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.

(1)数表如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);

(2) 数表如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数的所有可能值;

(3)对由个实数组成的列的任意一个数表

能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之

和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.

已帮助 264 人解答此问题

试题答案

见解析

试题解析

(1)解:法1:

法2:

法3:

…………………3分

(2)每一列所有数之和分别为2,0,,0,每一行所有数之和分别为,1;

①如果首先操作第三列,则

则第一行之和为,第二行之和为

这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,

所以

时,则接下来只能操作第一行,

此时每列之和分别为

必有,解得

时,则接下来操作第二行

此时第4列和为负,不符合题意.                      …………………6分

② 如果首先操作第一行

则每一列之和分别为

时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉

时,至少有一个为负数,

所以此时必须有,即,所以

经检验,符合要求

综上:                           …………………9分

(3)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下:

记数表中第行第列的实数为),各行的数字之和分别为,各列的数字之和分别为,数表中个实数之和为,则。记

按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起(和)增大,从而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立。                                    …………………13分

少年,再来一题如何?
相关试题