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选修41:几何证明选讲

如图14,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:

(1)BE=EC;

(2)AD·DE=2PB2.

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试题答案

(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,

故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,

∠PAD=∠BAD+∠PAB,

∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.

因此BE=EC.

(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,

所以AD·DE=2PB2.

试题解析

(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,

故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,

∠PAD=∠BAD+∠PAB,

∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.

因此BE=EC.

(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,

所以AD·DE=2PB2.

少年,再来一题如何?
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