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试题详情

对于数列,把作为新数列的第一项,把作为新数列的第项,数列称为数列的一个生成数列,例如,数列的一个生成数列是

已知数列为数列的生成数列,为数列的前项和。

(1)写出的所有可能值;

(2)若生成数列满足,求数列的通项公式;

(3)证明:对于给定的的所有可能值组成的集合为

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试题答案

见解析

试题解析

(1)由已知,

由于

可能值为。…………………………3分

(2)∵

时,

时,

,…………………………5分

的生成数列,

在以上各种组合中,

当且仅当时,才成立。

。…………………………8分

(3)共有种情形。

,即

,分子必是奇数,

满足条件的奇数共有个。…………………………10分

设数列与数列为两个生成数列,数列的前项和为,数列的前项和为,从第二项开始比较两个数列,设第一个不相等的项为第项。

由于,不妨设

所以,只有当数列与数列的前项完全相同时,才有。……12分

共有种情形,其值各不相同。

可能值必恰为,共个。

所有可能值集合为。…………………………13分

少年,再来一题如何?
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