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试题详情

已知函数,其中是自然对数的底,=2.71828…。

(1)证明:函数在区间上有零点;

(2)求方程根的个数,并说明理由;

(3)若数列满足为常数),,证明:存在常数,使得对于任意,都有

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试题答案

见解析。

试题解析

解:

(1)由,得:,所以函数在区间上有零点。

(2)由(1)得:,由知,,而,则的一个零点,且内有零点,因此至少有两个零点。

解法1:-1,记-1,则.

时,,因此上单调递增,则内至多只有一个零点。有且只有两个零点.所以,方程根的个数为2。

(3)记的正零点为,即.

(i)当时,由,即.而,因此,由此猜测:.下面用数学归纳法证明:①当时,显然成立;

②假设当时,有成立,则当时,由知,,因此,当时,成立.故对任意的成立。

(ii)当时,由(1)知,上单调递增.则,即.从而,即,由此猜测:.下面用数学归纳法证明:

①当时,显然成立;②假设当时,有成立,则当时,由

知,,因此,当时,成立。

故对任意的成立。

综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有.

少年,再来一题如何?
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