↑ 收起筛选 ↑

试题详情

将一个正整数表示为的形式,其中,且,记所有这样的表示法的种数为(如4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,故).

(1)写出的值,并说明理由;

(2)对任意正整数,比较的大小,并给出证明;

(3)当正整数时,求证:

已帮助 264 人解答此问题

试题答案

见解析

试题解析

(1)解:因为3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以

为5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1,

所以。                         ……………………………………3分

(2)结论是.

证明如下:由结论知,只需证

因为,把的一个表示法中去掉,就可得到一个的表示法;反之,在的一个表示法前面添加一个“1+”,就得到一个的表示法,即的表示法中的表示法种数等于的表示法种数,

所以表示的是的表示法中的表示法数,的表示法中的表示法数。

同样,把一个的表示法中的加上1, 就可得到一个的表示法,这样就构造了从的表示法到的表示法的一个对应.

所以有……………………………………9分

(3)由第(2)问可知:

当正整数时,.

 所以.

对于*式,分别取,将所得等式相加得.

。                       ……………………………………13分

少年,再来一题如何?
相关试题