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试题详情

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点。

(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1

(2)设(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1-QC1D的体积,(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)

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试题答案

见解析

试题解析

(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线∥BC,

因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,

由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC。

由已知,AB=AC,D是BC的中点,

所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD。

因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.

又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,

所以直线l⊥平面ADD1A1.

(2)过D作DE⊥AC于E,

因为AA1⊥平面ABC,所以DE⊥AA1.

又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,

所以DE⊥平面AA1C1C。

由AB=AC=2,∠BAC=120°,有AD=1,∠DAC=60°,

所以在△ACD中,DE=AD=.

A1C1·AA1=1,

所以DE·.

因此三棱锥A1-QC1D的体积是.

少年,再来一题如何?
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