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试题详情

如图1,∠ACB=45°,BC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2所示),

(1)当BD的长为多少时,三棱锥A﹣BCD的体积最大;

(2)当三棱锥A﹣BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小。

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试题答案

(1)1

(2)60°

试题解析

(1)设BD=x,则CD=3﹣x

∵∠ACB=45°,AD⊥BC,∴AD=CD=3﹣x

∵折起前AD⊥BC,∴折起后AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩DC=D

∴AD⊥平面BCD

∴VA﹣BCD=×AD×S△BCD=×(3﹣x)××x(3﹣x)=(x3﹣6x2+9x)

设f(x)=(x3﹣6x2+9x)  x∈(0,3),

∵f′(x)=(x﹣1)(x﹣3),∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,3)上为减函数

∴当x=1时,函数f(x)取最大值

∴当BD=1时,三棱锥A﹣BCD的体积最大;

(2)以D为原点,建立如图直角坐标系D﹣xyz,

由(1)知,三棱锥A﹣BCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2

∴D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0),且=(﹣1,1,1)

设N(0,λ,0),则=(﹣,λ﹣1,0)

∵EN⊥BM,∴=0

即(﹣1,1,1)•(﹣,λ﹣1,0)=+λ﹣1=0,∴λ=,∴N(0,,0)

∴当DN=时,EN⊥BM

设平面BMN的一个法向量为=(x,y,z),由=(﹣1,,0)

,取=(1,2,﹣1)

设EN与平面BMN所成角为θ,则=(﹣,0)

sinθ=|cos<>|=||==

∴θ=60°

∴EN与平面BMN所成角的大小为60°

少年,再来一题如何?
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