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试题详情

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点。

(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1

(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,

因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC。

由已知,AB=AC,D是BC的中点,

所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD。

因为AA1⊥平面ABC,

所以AA1⊥直线l.

又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,

所以直线l⊥平面ADD1A1.

(2)解法一:

连接A1P,过A作AE⊥A1P于E,过E作EF⊥A1M于F,连接AF.

由(1)知,MN⊥平面AEA1

所以平面AEA1⊥平面A1MN.

所以AE⊥平面A1MN,则A1M⊥AE.

所以A1M⊥平面AEF,则A1M⊥AF.

故∠AFE为二面角A-A1M-N的平面角(设为θ)。

设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,有∠BAD=60°,AB=2,AD=1.

又P为AD的中点,

所以M为AB中点,且AP=,AM=1,

所以,在Rt△AA1P中,A1P=;在Rt△A1AM中,A1M=.

从而

.

所以sin θ=.

所以cos θ=.

故二面角A-A1M-N的余弦值为.

解法二:设A1A=1.如图,过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)。

则A1(0,0,0),A(0,0,1)。

因为P为AD的中点,

所以M,N分别为AB,AC的中点。

故M,N.

所以=(0,0,1),=(,0,0)。

设平面AA1M的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),

故有

从而

取x1=1,则y1

所以n1=(1,,0)。

设平面A1MN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),

故有

从而

取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1)。

设二面角A-A1M-N的平面角为θ,

又θ为锐角,

则cos θ=

.

故二面角A-A1M-N的余弦值为.

少年,再来一题如何?
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