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试题详情

已知函数,其中为大于零的常数,,函数的图像与坐标轴交点处的切线为,函数的图像与直线交点处的切线为,且

(1)若在闭区间上存在使不等式成立,求实数的取值范围;

(2)对于函数公共定义域内的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差,求证:函数在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)函数的图像与坐标轴的交点为,又

函数的图像与直线的交点为

,由题意可知,,又,所以,……3分

不等式可化为,即

,则

,又时,

上是减函数,即上是减函数,

因此,在闭区间上,若存在使不等式成立,

只需

所以实数的取值范围是,…………………………………8分

(2)证明:公共定义域为,由(1)可知,

,则上是增函数,

,即,①

,则

时,;当时,有最大值,因此,②

由①②得,即,又由①得

由②得

故函数在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

少年,再来一题如何?
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