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试题详情

已知函数为常数,),且数列是首项为,公差为的等差数列.

(1)若,当时,求数列的前项和

(2)设,如果中的每一项恒小于它后面的项,求的取值范围。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)由题意得f(an)=2+2(n﹣1)=logman,可得2n=logman

∴an=m2n。…(2分)

bn=an•f(an)=2n•m2n

∵m=,∴bn=an•f(an)=2n•(2n=n•(n﹣1

∴Sn=1•(0+2•(1+3•(2+…+n•(n﹣1,①

Sn=1•(1+2•(2+3•(3+…+n•(n,②

①﹣②,得Sn=(0+(1+(2+…+(n﹣1﹣n•(n=

∴化简得:Sn=﹣(n+2)(n﹣1+4

(2)解:由(1)知,cn=an•lgan=2n•m2nlgm,要使cn<cn+1对一切n∈N*成立,

即nlgm<(n+1)m2lgm对一切n∈N*成立。

∵0<m<1,可得lgm<0

∴原不等式转化为n>(n+1)m2,对一切n∈N*成立,

只需m2<(min即可,

∵h(n)=在正整数范围内是增函数,∴当n=1时,(min=

∴m2,且0<m<1,,∴0<m<。…(13分)

综上所述,存在实数m∈(0,)满足条件,

少年,再来一题如何?
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