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试题详情

已知函数.

(1)若曲线处的切线为,求的值;

(2)设,证明:当时,的图象始终在的图象的下方;

(3)当时,设,(为自然对数的底数),表示导函数,

求证:对于曲线上的不同两点,存在唯一的,使直线的斜率等于

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试题答案

见解析。

试题解析

(1),此时,又,所以曲线在点处的切线方程为,由题意得,.

(2)

单调递减,且

时,

时,的图像始终在的图象的下方.

(3)  由题,.

,∴,∴

,则是关于的一次函数,故要在区间证明存在唯一性,

只需证明在上满足.下面证明之:

为了判断的符号,可以分别将看作自变量得到两个新函数

讨论他们的最值:

,将看作自变量求导得

的增函数,

,∴

同理:

,将看作自变量求导得的增函数,

,∴

∴函数内有零点

,函数是增函数,

∴函数内有唯一零点,从而命题成立.

少年,再来一题如何?
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