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试题详情

已知函数的定义域为(-1,1),且,对任意,都有,数列{}满足

(1)证明函数是奇函数;

(2)求数列{}的通项公式;

(3)令,证明:当时,.

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试题答案

见解析

试题解析

(1)解:由于对任意都有

,得

解得                                 

         

∴函数是奇函数,                            

(2)解:先用数学归纳法证明

①当n=1时,得结论成立。

②假设n=k时,结论成立,即

时,由于

时,结论也成立。

由①②知对任意                   

求数列的通项公式提供下面两种方法。

法一:

∵函数是奇函数

                          

∴数列是首项为,公比为2的等比数列。

∴数列的通项公式为                  

法二:                       

                             

∴数列是首项为,公比为2的等比数列。

∴数列的通项公式为             

(3)证法一:由(2)知

                                           

时,

             

                                         

.

.                          

∴当时,.          

∴当时,.        

证法二:由(2)知

.                          

(n∈N*,且)

.                       

下面用数学归纳法证明不等式成立。

①当n=2时,左边右边。

∴n=2时,不等式成立.                 

②假设时,不等式成立,即

则n=k+1时,

左边   

   

右边,                   

时,不等式也成立。

由①②知,当时,成立。       

证法三:由(2)知,故对,有

.                    

由于对任意x>0,y>0,有,其中表示x与y的较大值。

于是对,有

                          

                    

.                          

  

             

.              

少年,再来一题如何?
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