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试题详情

已知函数处存在极值。

(1)求实数的值;

(2)函数的图像上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在轴上,求实数的取值范围;

(3)当时,讨论关于的方程的实根的个数。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)当时,.

因为函数f(x)在处存在极值,所以解得.

(2) 由(1)得

根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设.

,则

是直角得,,即

.此时无解;

,则. 由于AB的中点在轴上,且是直角,所以B点不可能在轴上,即. 由,即=0,即.。

因为函数上的值域是

所以实数的取值范围是.

(3)由方程,知,可知0一定是方程的根,

所以仅就时进行研究:方程等价于

构造函数

对于部分,函数的图像是开口向下的抛物线的一部分,

时取得最大值,其值域是

对于部分,函数,由,知函数上单调递增。

所以,①当时,方程有两个实根;

②当时,方程有三个实根;

③当时,方程有四个实根.

少年,再来一题如何?
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