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试题详情

已知函数,其中.

(1)若对一切恒成立,求的取值集合.

(2)在函数的图像上取定两点,记直线的斜率为.问:是否存在,使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.

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试题答案

见解析

试题解析

(1)若,则对一切,这与题设矛盾,又

.

时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值

于是对一切恒成立,当且仅当

.①

时,单调递增;当时,单调递减.

故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.

综上所述,的取值集合为.

(2)由题意知,

,则.

时,单调递减;当时,单调递增.

故当

从而

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在,使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, .

综上所述,存在使成立.且的取值范围为.

少年,再来一题如何?
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