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试题详情

如图,O为坐标原点,椭圆C1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2.已知,且.

(1)求C1,C2的方程;

(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)因为,所以,即,因此a2=2b2,从而F2(b,0),,于是-b=|F2F4|=-1,所以b=1,a2=2.故C1,C2的方程分别为.

(2)因AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.

得(m2+2)y2-2my-1=0.

易知此方程的判别式大于0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以.

因此x1+x2=m(y1+y2)-2=

于是AB的中点为

故直线PQ的斜率为,PQ的方程为,即mx+2y=0.

得(2-m2)x2=4,

所以2-m2>0,且

从而.

设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,

所以.

因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,

所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,

于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2

=|mx1+2y1-mx2-2y2|,

从而.

又因为

所以.

故四边形APBQ的面积.

而0<2-m2≤2,故当m=0时,S取得最小值2.

综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.

少年,再来一题如何?
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