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试题详情

,定义函数

(1)求证:图像的右端点与图像的左端点重合;并回答这些端点在哪条直线上。

(2)若直线与函数)的图像有且仅有一个公共点,试将表示成的函数。

(3)对,在区间上定义函数,使得当,且,…,)时,,试研究关于的方程)的实数解的个数(这里的是(2)中的),并证明你的结论。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)由图像右端点的坐标为,由图像左端点的坐标为,故两端点重合。                    (2分)

并且对,这些点在直线上。                              (4分)

(2)由题设及(1)的结论,两个函数图像有且仅有一个公共点,即方程上有两个相等的实数根。

整理方程得

,解得,             (8分)

此时方程的两个实数根相等,由

因为,所以只能),(10分)

(3)当时,,可得

单调递减。                                                      (14分)

① 当时,对于,总有,亦即直线与函数的图像总有两个不同的公共点(直线在直线与直线之间)。

对于函数来说,因为,所以方程有两个解:

此时方程)的实数解的个数为

(16分)

② 当时,因为,所以方程有两个解,此时方程)的实数解的个数为。                                   (17分)

综上,当时,方程)的实数解的个数为。                                                         (18分)

少年,再来一题如何?
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