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试题详情

如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形。

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;

(2)过B1做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)设椭圆的方程为,F2(c,0)

∵  △AB1B2是的直角三角形,|AB1|=AB2|,∴  ∠B1AB2为直角,从而|OA|=|OB2|,即

∵  c2=a2﹣b2,∴  a2=5b2,c2=4b2,∴

在△AB1B2中,OA⊥B1B2,∴  S=|B1B2||OA|=

∵  S=4,∴b2=4,∴  a2=5b2=20

∴  椭圆标准方程为

(2)由(1)知B1(﹣2,0),B2(2,0),由题意,直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为x=my﹣2

代入椭圆方程,消元可得(m2+5)y2﹣4my﹣16﹣0①

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

=

∵ PB2⊥QB2,∴

,∴  m=±2

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0。

少年,再来一题如何?
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