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试题详情

已知函数.(为常数,为自然对数的底,

(1)当时,求的单调区间;

(2)若函数在区间上无零点,求的最小值;

(3)若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围。

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试题答案

(1)的单调递减区间为,单调递增区间为

(2)(3)

试题解析

(1)当时,.

;令

的单调递减区间为,单调递增区间为

(2)∵函数在区间上不可能恒成立,

故要使函数在区间上无零点,只要对恒成立,

即对恒成立.

)则 ,

再令,则

,∴

故函数在区间上单调递减,

, 即

∴函数在区间上单调递增,∴ ,

故只要函数在区间上无零点,

所以.

(3)∵,当

∴函数在区间上是增函数,

.

时,,不符题意

时,

时,,由题意有上不单调,故,

① 。

变化时,变化情况如下:

又因为时,

 ,

所以,对于给定的,在在上总存在两个不同的,使得成立,当且仅当满足下列条件

,令,则

时,,函数单调递增;

时,,函数单调递减.

所以对任意的.

由③得④,由①④当时,在上总存在两个不同的,使得成立 。

少年,再来一题如何?
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