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试题详情

已知函数f(x)＝ex，x∈R.

（1）若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；

（2）设x＞0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m＞0)公共点的个数；

（3）设a＜b，比较与的大小，并说明理由。

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试题答案

（1） ；（2） 若0＜m＜，曲线y＝f(x)与y＝mx2没有公共点；若，曲线y＝f(x)与y＝mx2有一个公共点；若，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点，（3）

试题解析

（1）f(x)的反函数为g(x)＝ln x.

设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图像在P(x0，y0)处相切，

则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝，

解得x0＝e2，.

（2）

曲线y＝ex与y＝mx2的公共点个数等于曲线与y＝m的公共点个数。

令，则，

∴φ′(2)＝0.

当x∈(0,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(0,2)上单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，

∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为.

当0＜m＜时，曲线与y＝m无公共点；

当时，曲线与y＝m恰有一个公共点；

当时，在区间(0,2)内存在，使得φ(x1)＞m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)＞m.由φ(x)的单调性知，曲线与y＝m在(0，＋∞)上恰有两个公共点。

综上所述，当x＞0时，

若0＜m＜，曲线y＝f(x)与y＝mx2没有公共点；

若，曲线y＝f(x)与y＝mx2有一个公共点；

若，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点。

（3）解法一：可以证明.

事实上，

(b＞a)，(*)

令(x≥0)，

则(仅当x＝0时等号成立)，

∴ψ(x)在[0，＋∞)上单调递增，

∴x＞0时，ψ(x)＞ψ(0)＝0.

令x＝b－a，即得(*)式，结论得证。

解法二：

＝

＝[(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2]，

设函数u(x)＝xex＋x－2ex＋2(x≥0)，

则u′(x)＝ex＋xex＋1－2ex，

令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝ex＋ex＋xex－2ex＝xex≥0(仅当x＝0时等号成立)，

∴u′(x)单调递增，

∴当x＞0时，u′(x)＞u′(0)＝0，

∴u(x)单调递增。

当x＞0时，u(x)＞u(0)＝0.

令x＝b－a，则得(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2＞0，

∴，

因此，

少年，再来一题如何？
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