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试题详情

已知函数(其中为自然对数的底数)。

(1)求函数的单调区间;

(2)定义:若函数在区间上的取值范围为,则称区间为函数的“域同区间”,试问函数上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间”;若不存在,请说明理由。

已帮助 191 人解答此问题

试题答案

见解析。

试题解析

(1)因为

所以

时,,即函数的单调递增区间为

时,,即函数的单调递减区间为

所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为

(2)假设函数上存在“域同区间”

由(1)知函数上是增函数,

所以  即

也就是方程有两个大于1的相异实根。

,则

,则

因为在上有,所以上单调递增。

因为

即存在唯一的,使得

时,,即函数上是减函数;

时,,即函数上是增函数。

因为

所以函数在区间上只有一个零点。

这与方程有两个大于1的相异实根相矛盾,所以假设不成立。

所以函数上不存在“域同区间”。

少年,再来一题如何?
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