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试题详情

已知函数.

(1)当时,讨论的单调性;

(2)设时,若对任意,存在,使

,求实数取值范围.

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试题答案

见解析。

试题解析

因为 

所以 

(1)当时,

所以  当时,此时,函数单调递减;

时,,此时,函数单调递增。

(2) 当时,由

,解得 

① 当时,恒成立,此时,函数上单调递减;

② 当时,

时,,此时,函数单调递减;

时,,此时,函数单调递增;

时,,此时,函数单调递减;

③ 当时,由于

时,,此时,函数单调递减;

时,,此时,函数单调递增。

综上所述:

时,函数上单调递减;

函数上单调递增;

时,函数上单调递增;

时,函数上单调递减;

函数上单调递增;

函数上单调递减。

(2)因为,由(Ⅰ)知,,当时,,函数函数上单调递减;当时,,函数单调递增,所以函数上的最小值为

由于“对任意,存在,使”等价于

上的最小值不大于上的最小值为”,(﹡)

又  ,所以

① 当时,因为,此时与(﹡)矛盾;

② 当时,因为,同样与(﹡)矛盾;

③ 当时,因为,解不等式

可得

综上,的取值范围是

少年,再来一题如何?
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