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试题详情

已知函数

(1) 试说明函数的图像是由函数的图像经过怎样的变换得到的;

(2) (理科)若函数,试判断函数的奇偶性,并用反证法证明函数的最小正周期是

(3) 求函数的单调区间和值域。

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试题答案

见解析

试题解析

(1)∵

∴函数的图像可由的图像按如下方式变换得到:

①将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像;

②将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图像;

③将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数的图像。

(说明:横坐标先放缩,再平移也可,即将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数,再将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,最后将函数的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数的图像。)

(2)由(1)知,

又对任意,有

∴函数是偶函数。

是周期函数,是它的一个周期。

现用反证法证明是函数的最小正周期。

反证法:假设不是函数的最小正周期,设的最小正周期。

,即

,得,两边平方后化简,得,这与()矛盾,因此,假设不成立。

所以,函数的最小正周期是

(3)先求函数在一个周期内的单调区间和函数值的取值范围。

时,,且

易知,此时函数的单调增区间是,单调减区间是

函数的取值范围是

因此,依据周期函数的性质,可知函数的单调增区间是

;单调减区间是

函数的值域是

少年,再来一题如何?
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