↑ 收起筛选 ↑

试题详情

已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx, f ′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数.若f ′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致。

(1)设a>0.若f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求b的取值范围;

(2)设a<0且a≠b.若f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值。

已帮助 204 人解答此问题

试题答案

(1)x=±

(2)

试题解析

f ′(x)=3x2+a,g′(x)=2x+b.

(1)由题意知f ′(x)g′(x)≥0在[-1,+∞)上恒成立。

因为a>0,故3x2+a>0,进而2x+b≥0,即b≥-2x在区间[-1,+∞)上恒成立,

所以b≥2.因此b的取值范围是[2,+∞)。

(2)令f ′(x)=0,解得x=±.

若b>0,由a<0得0∈(a,b).又因为f ′(0)g′(0)=ab<0,所以函数f(x)和g(x)在(a,b)上不是单调性一致的.因此b≤0.

现设b≤0.当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0;

当x∈时, f ′(x)>0.因此,

当x∈时, f ′(x)g′(x)<0.

故由题设得a≥-且b≥-

从而-≤a<0,于是-≤b≤0.

因此|a-b|≤,且当a=-,b=0时等号成立。

又当a=-,b=0时,f ′(x)g′(x)=6x,从而当x∈时f ′(x)g ′(x)>0,故函数f(x)和g(x)在上单调性一致.因此|a-b|的最大值为.

少年,再来一题如何?
相关试题