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试题详情

如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径。

(1)证明:平面平面

(2)设AB=,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱内的概率为

(i)当点C在圆周上运动时,求的最大值;

(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)因为平面ABC,平面ABC,所以

因为AB是圆O直径,所以,又,所以平面

平面,所以平面平面

(2)(i)设圆柱的底面半径为,则AB=,故三棱柱的体积为

=,又因为

所以=,当且仅当时等号成立,

从而,而圆柱的体积

=当且仅当,即时等号成立,

所以的最大值是

(ii)由(i)可知,取最大值时,,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0),(0,r,2r),

因为平面,所以是平面的一个法向量,

设平面的法向量,由,故

得平面的一个法向量为,因为

所以

少年,再来一题如何?
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