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试题详情

设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆

(1)求的值;

(2)试判断圆轴的位置关系;

(3)在坐标平面上是否存在定点,使得圆恒过点?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)利用抛物线的定义得,故线段的中点的坐标为,代入方程得,解得

(2)由(1)得抛物线的方程为,从而抛物线的准线方程为

得方程

由直线与抛物线相切,得 

,从而,即

,解得

的中点的坐标为

圆心轴距离

∴   当时,,圆轴相切;

时,,圆轴相交;

(或,以线段为直径圆的方程为:

 

∴   当时,,圆轴相切;

时,,圆轴相交;

(3)方法一:假设平面内存在定点满足条件,由抛物线对称性知点轴上,设点坐标为

由(2)知

 。

得,

所以,即

所以平面上存在定点,使得圆恒过点.

证法二:由(2)知的中点的坐标为

所以圆的方程为

整理得

上式对任意均成立,

当且仅当,解得

少年,再来一题如何?
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