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试题详情

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|。

(1)求C的方程;

(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px(p>0),

可得x0=,∵点P(0,4),∴|PQ|=

又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,

+=×,求得 p=2,或 p=﹣2(舍去)。

故C的方程为 y2=4x。

(2)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,设l的方程为 x=my+1 (m≠0),

代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0,∴y1+y2=4m,y1•y2=﹣4。

∴AB的中点坐标为D(2m2+1,2m),弦长|AB|=|y1﹣y2|=4(m2+1)。

又直线l′的斜率为﹣m,∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3。

过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,

把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4(2m2+3)=0,∴y3+y4=,y3•y4=﹣4(2m2+3)。

少年,再来一题如何?
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