↑ 收起筛选 ↑

试题详情

在数列中,,且对任意.成等差数列,其公差为

(1)若=,证明成等比数列(

(2)若对任意成等比数列,其公比为

已帮助 149 人解答此问题

试题答案

见解析。

试题解析

(1)证明:由题设,可得

所以

=

=2k(k+1)

=0,得

于是

所以成等比数列。

(2)证法一:(i)证明:由成等差数列,及成等比数列,得

≠1时,可知≠1,k

从而

所以是等差数列,公差为1。

(2)证明:,可得,从而=1.由(1)有

所以

因此,

以下分两种情况进行讨论:

(1)   当n为偶数时,设n=2m()

若m=1,则.

若m≥2,则

+

所以

(2)当n为奇数时,设n=2m+1(

所以从而···

综合(1)(2)可知,对任意,,有

证法二:(i)证明:由题设,可得

所以

可知。可得

所以是等差数列,公差为1。

(ii)证明:因为所以

所以,从而。于是,由(i)可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ,故

从而

所以,由,可得

于是,由(i)可知

以下同证法一。

少年,再来一题如何?
相关试题