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试题详情

已知函数f(x)=ex﹣ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为﹣1。

(1)求a的值及函数f(x)的极值;

(2)证明:当x>0时,x2<ex

(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex

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试题答案

(1)由f(x)=ex﹣ax得f′(x)=ex﹣a。

又f′(0)=1﹣a=﹣1,∴a=2,

∴f(x)=ex﹣2x,f′(x)=ex﹣2。

由f′(x)=0得x=ln2,

当x<ln2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x>ln2时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

∴当x=ln2时,f(x)有极小值为f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4。

f(x)无极大值。

(2)令g(x)=ex﹣x2,则g′(x)=ex﹣2x,

由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4>0,即g′(x)>0,

∴当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex

(3)对任意给定的正数c,总存在x0=>0.当x∈(x0,+∞)时,

由(2)得ex>x2x,即x<cex

∴对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex

试题解析

等差数列与等比数列。

(1)利用导数的几何意义求得a,再利用导数法求得函数的极值;

(2)构造函数g(x)=ex﹣x2,利用导数求得函数的最小值,即可得出结论;

(3)利用(2)的结论,令x0=,则ex>x2x,即x<cex,即得结论成立。

少年,再来一题如何?
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