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试题详情

如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2。

(1)证明:AC1⊥A1B;

(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小。

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试题答案

见解析。

试题解析

(1)∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,

∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC

∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,

由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,

由三垂线定理可得AC1⊥A1B;

(2)∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1

∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1

作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1

又直线AA1∥平面BCC1B1

∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=

∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D=A1E=

作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,

由三垂线定理可得A1F⊥AB,

∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,

由AD==1可知D为AC中点,

∴DF==

∴tan∠A1FD==

∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan

少年,再来一题如何?
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