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试题详情

如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC 。

(1)证明:SE=2EB;

(2)求二面角A-DE-C的大小 。

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试题答案

见解析。

试题解析

解法一:

(1)连接BD,取DC的中点G,连接BG,

由此知 为直角三角形,故.

,

所以,.

与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直

DE⊥平面SBC,DE⊥EC,DE⊥SB

所以,SE=2EB

(2)由

.

为等腰三角形。

中点F,连接,则.

连接,则.

以,是二面角的平面角。

连接AG,AG=,,

,

所以,二面角的大小为120°。

解法二:

以D为坐标原点,射线轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系

设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)

(1)

设平面SBC的法向量为=(a,b,c)

,得

故2b-2c=0,-a+b=0

令a=1,则b=c,c=1,=(1,1,1)

又设   ,则

设平面CDE的法向量=(x,y,z)

,得

故             .

,则.

由平面DEC⊥平面SBC得,

故SE=2EB

(2)由(1)知,取DE的中点F,则

,由此得

,故,由此得

向量的夹角等于二面角的平面角

于是     

所以,二面角的大小为

少年,再来一题如何?
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